La paradoja del hotel infinito de Hilbert y la prueba de la prisión

A continuación te presentamos dos acertijos matemáticos clásicos: la paradoja del hotel infinito de Hilbert y el acertijo de la prisión.

El hotel infinito

En un hotel infinito, es decir, un hotel de habitaciones infinitas, un día se registra una cantidad infinita de seres verdes los cuales piden una habitación para cada uno. El conserje, al tener habitaciones infinitas, no tiene problema en ubicar a todos.

Al día siguiente llega un contingente infinito de seres azules que también pide una habitación individual para cada uno. El conserje tras pensarlo cuidadosamente logra ubicar a cada uno de estos seres azules en sus respectivas habitaciones; respetando el pedido tanto de verdes como azules de tener una habitación individual para cada uno.

¿Cómo lo logró si el hotel ya estaba ocupado por una cantidad infinita de seres?

Si no puedes resolverlo la respuesta se encuentra al final de este mismo artículo. Esta paradoja es una buena representación visual del concepto del infinito. Puedes leer sobre el efecto Droste (y ver varias imágenes del mismo) para ver otra muy buena visualización del infinito.

La prueba en la prisión

En una cárcel que estaba por cerrar sus puertas le dan a 100 prisioneros la posibilidad de quedar en libertad si cumplen una prueba, pero si fallan todos serán ejecutados. El guardia les comenta lo siguiente:

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«La prueba consistirá en que adivinen el color del sombrero que tienen puesto. Habrá 100 sobreros algunos de color blanco y otros de color negro, la cantidad de cada color es indiferente, es decir, no habrá la misma cantidad de sombreros de un color que la de otro. Cada prisionero, si bien no podrá ver el color de su propio sombrero, si podrá ver el color de los sombreros de los demás prisioneros. Como condición final si alguno hace un gesto o una seña, habla o pregunta algo todos serán inmediatamente ejecutados».

Tras esto les dan 20 minutos para reunirse y luego se procede con la prueba. Sorprendentemente todos los prisioneros adivinan correctamente el color del sombrero que tienen puesto.

¿Cómo lograron los prisioneros adivinar el color?

Si no puedes resolverlo la respuesta se encuentra al final de este mismo artículo.

Respuestas

Respuesta al acertijo del hotel infinito

La respuesta es relativamente simple: el conserje simplemente le dice a los seres que se muden de habitación, para saber a qué habitación deben mudarse simplemente deben tomar su número de habitación actual y multiplicarlo por 2. El ser en la habitación 1 se mudará a la 2 (2×1) el ser en la habitación 2 se mudará a la 4 (2×2), el ser en la habitación 3 se mudará a la habitación 6 (3×2), y así infinitamente… Luego le dice a los seres azules que ocupen las habitaciones impares, ya que la operación matemática 2n (donde n es el número de habitación) siempre da como resultado un número par.

Paradoja del hotel infinito de Hilbert.
Solución a la paradoja del Hotel Infinito de Hilbert. Donde n es el número de habitación. Este acertijo matemático a veces es denominado como el Gran Hotel de Hilbert.

Este acertijo es muy útil para comprender el concepto del infinito, ya que varios infinitos pueden entrar o caber dentro de otro infinito. Este acertijo clásico fue propuesto por el gran matemático David Hilbert. Quien además se interesó en gran medida en los fractales (la curva de Hilbert). Los fractales son muy comunes en la evolución de los seres vivos.

Respuesta al acertijo de la prisión

La respuesta es bastante más difícil comparado con el acertijo anterior. Cada persona verá una de estas 2 opciones siendo X el número total de blancos y el número total de negros:

A) ( X – 1 , Y )
B) ( X, Y – 1)

¿Hasta aquí de acuerdo, no? Bien… ¿Entonces como sabemos cuál será el número de gorros X y Y? Fácil, con 3 personas bastaría. Únicamente tenemos que hacer un máximo de lo que digan. Sean estas personas R, S, T, si R dice (X=2, Y=0), S dice (X=1, Y=1) y T dice (X=2, Y=0) tendremos que aplicar el máximo de sus X y sus Y… que daría: X=2 y Y=1.

Con la condición dicha al principio y sabiendo el número de gorros que hay, ya esta.

EJEMPLO: Si en total hay 56 blancos y 44 negros, y yo vi que había 55 blancos y 44 negros… ¿qué color tendré yo?

Otros acertijos

Si los acertijos anteriores te resultaron fáciles de resolver puedes intentar resolver el acertijo de las Torres de Hanoi.