Botella de Klein y fluidos.

La Botella de Klein, una botella sin interior ni exterior

Las botellas de Klein son una construcción matemática de la topología y el estudio de superficies. Las mismas son superficies no orientables abiertas.

Las botellas de Klein, además de ser una pieza decorativa bastante bonita es a su vez un fenómeno matemático asombroso. Su concepto está fuertemente relacionado a la tira de Möbius y es ni más ni menos que una superficie no orientable que no tiene exterior ni interior.

Botella de Klein.
Visualización de una Botella de Klein.

Estas fueron descubiertas por el matemático alemán Felix Klein en el año 1882. Si bien este llamó al fenómeno como superficie de Klein en un principio, el traductor al inglés de su texto científico se confundió y lo tradujo como botella de Klein.

Gracias a la ayuda de ordenadores y los avances en la producción del vidrio así como los monumentales avances logrados en la impresión 3D durante los últimos años, hoy en día se pueden tener modelos «reales» muy similares de dicha superficie, pudiendo ser utilizadas justamente como botellas comunes y silvestres, la diferencia es que el contenido con el que la carguemos estará técnicamente en el interior y el exterior del botella al mismo tiempo.

La misma se ha vuelto un fenómeno cultural entre las comunidades de matemáticos y físicos del mundo, ya que es una construcción matemática que puede representarse fácilmente como un objeto físico. Esto ha llevado a que varios emprendedores produzca botellas de Klein a manera de adornos y decoraciones.

Qué es una Botella de Klein

Construcción de la botella de Klein.
Construcción de la botella de Klein.

Las botellas de Klein son estudiadas en la rama de las matemáticas denominada topología. Las mismas son un ejemplo fundamental de las denominadas superficies no orientables abiertas en las cuales su característica de Euler es igual a 0.

La misma se armar a partir de un cuadrado denominado como polígono fundamental de klein, [0,1] × [0,1] cuyos bordes se identifican por la relación (0, y) ~ (1, y) donde para 0 ≤ y ≤ 1, y (x, 0) ~ (1 − x, 1) para 0 ≤ x ≤ 1.

El cuadrado se transforma en un cilindro y luego dicho cilindro se dobla sobre si mismo hasta que se introduce sobre si.

Como vemos en secuencia anterior su construcción se entiende mucho mejor en un esquema donde las aristas del cuadrado se colorean. Así las mismas pueden observarse como varían a medida que el cilindro va cambiando de forma.

Propiedades de las botellas de Klein.

  • Las mismas no tienen bordes donde la superficie se detenga de manera abrupta.
  • Las miams no son orientables, ya que su inmersión está en una sola cara.
  • Si se seccionan en dos mitades halladas a lo largo de su plano simétrico se obtienen dos tiras de Möbius especulares a cada otra.
  • Están relacionadas a las superficies de Riemann.

Vemos de esta manera como sus propiedades definen un contenedor que no tiene volumen, y en el cual se puede navegar desde el «interior» hasta el «exterior» sin detenerse o cambiar de dirección, simplemente trazando una linea recta.

Las botellas de Klein en la cultura popular

Todo lo anterior las ha hecho también populares fuera del ámbito puramente científico, y se han introducido en la cultura popular, pudiéndose ver botellas de Klein en infinidad de programas de TV, películas e incluso menciones en todo tipo de piezas culturales. Esto pone a las botellas de Klein en un lugar reservado al cual pocos otros elementos de la ciencia dura han podido acceder, y las convierte en una excelente herramienta para interesar a los jóvenes en las matemáticas.

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21 Comments

  1. Yo diría que sí tiene interior y exterior: Si la llenas de agua hasta rebosar, lo mojado, es el interior, lo seco, el exterior. Otra cosa es q no tenga tapón!

  2. Más que un fenómeno matemático asombroso, creo que es un interesante paradoja. Parecida a la de la liebre que no era alcanzada por ningín cazador, y la flecha que no perdía ningún presa. Si fueron convertidas en estatuas, para evitar la paradoja, podriamos romper la botella y adiós al problema.

    En otro orden de cosas, lo íconos gestuales me caen mal.

  3. Eso no es una botella de klein sino su «sombra» en 3D, en realidad el extremo que se une «entra» en una cuarta dimensiòn y aparece dentro de la botella. Por lo que ésta nunca se cruza. por lo que deveras no tiene interior ni exterior.

  4. Moran: Claro pero esa sería una definición arbitraría, la cuestión es que si se quiere definir teóricamente es imposible.
    .
    del viento: Yo la paradoja la onocía como el escudo impenetrable y la espada que todo lo penetra. Es muy interesante realmente.
    .
    Ijon Tichy: La animación ? sí, creo que si. La idea es que sirva de ayuda visual.

  5. Interesantísimo, soy estudiante de matemáticas y el tema me apasiona. Si bien este tipo de superficies no puede existir en el mundo 3D hay gente que se rompe los sesos para hacer superficies que la simulen (como la botella de la foto) tuve el placer de asistir a una exposición del tema donde se presentaban paralelos y es algo que nunca voy a olvidar.
    Saludos!!

  6. Donde las vennden ?????

  7. Y que me decís de la paradoja de que podemos atravesar cualquier pared, de cualquier material ???

    Está matematicamente demostrado que hay un punto en el que nuestros átomos atraviesan JUSTO los huecos que hay en el material de la pared, luego podemos ATRAVESAR cualquier pared.

    Esta matematicamente demostrado, lo malo es que que se de el caso es muy improvable, del orden de 0,000…. muchos 0 … 1

    Por lo que posiblemente nos demos una buena leche con la pared 🙂

  8. Igual de arbitrario es definir el interior y el exterior de una botella «normal». si no se cierra, interior puede ser lo que te apetezca. pero puede contener líquido igual que lo puede contener esta botella «paradójica».

  9. Nikaracho: Cómo que la perfección es imposible ? y la partícula Omega ?? (ja tengo que dejar de ver Star Trek 😀 )

  10. Navegante, lo de la pared no es cierto. Como estén alineados los átomos tiene poco que ver. Los campos de repulsión generados por los enlaces moleculares son los que hacen que no se pueda «pasar» por una pared.

  11. me parece interesante pero no veo por que a de ser asombroso , como un comentario ya leido : llenalo de agua ….
    Ademas lo interior de una botella no se ve y el exterior si
    vale q sea una pasada en 3D pero haced el invento en barro o en plastico veras como deja de causar tal sensacion
    😉 😐 😎

  12. Como tb ha dicho alguien, el dibujo q vemos NO es la botella de Klein, sino su sombra….PAr apoder «imaginarnos» como es…

    Pero la botella de Klein no es de 3 dimensiones…

  13. Creo que todos an perdidola raiz del tema,enfoquemonos al titulo que dice no tiene,interior ni exterior,para empezar es un esquema cuatridimensional, no esta hecha fisicamente, matematicamente,no la podemos describir ya que las matematecas es la unica ciencia creada por el mismo hombre,de todas las exsistentes,ya que las matematicas solo nos dan una idea de espacio dimencional imaginario, lo cual un dibujo solo se espresa en un papel y lapiz en dos dimensiones, en tres seria al cubo etc. asi que es para los que les gusta la controversia, un rato de pasatiempo, pero no le agregen de favor,caracteristicas ni cualidades matematicas y mucho menos increibles,ya que traten mejor de pensar como espresarian el factor tiempo y espacio sin tinta y lapiz?

  14. Lo que se vio, es una representacion en 3d de la Botlla de Klein, ella vive en cuatro dimensiones, por eso, en nuestro mundo tridimensional no puede existir. Sólo tiene un lado, o sea, no tiene ni interior ni exterior, y es continua no tiene huecos, en 3d si, pues se atravesaria a ella misma. Y como otro dato, es imposible de llenar, y su superficie es cero. Por eso los matemáticos, cuando no encuentran algo dicen: Ayer lo meti en una botella de Klein y hoy ya no estaba.

  15. por que nos cuesta tanto aceptar que no todo es lo que creemos que es???? que construimos hasta certezas delirantes con tal de no reconocer que lo que veo tiene solo la interpretacion que le doy?? aceptemos que el mundo no se ordena por binomios tales como adentro-afuera…eso es puramente humano y como tal fallido.existen tantas posibilidade como seres en el planeta.

  16. Sierra, en el video el tiempo es un continuo, no una dimensión.

  17. -Tengo una serie de dudas en cuanto a la 4 dimension y a la interseccion en la botella de klein.
    Tambien algo en cuanto a 11 dimensiones y a mecanica cuantica…
    No se, algun experto en fisica que el tema le apasione y tenga tiempo para
    contarme algo??

    gracias

  18. top_veinte, Te Referís A La «Teoría De Cuerdas», Buscala Así En Google, Hay Material Hasta Para Tirar, Nomás No Se Lo Crea Todo, Recuerde Que Sólo Es Una Teoría… También En Youtube Hay Un Documental En Español Muy Interesante Se Llama: El Mundo Ellegante, Teoría de Las Cuerdas.

    Saludos

  19. la verdad comprender el universo o realidad o lo que sea que es me parece complicado 🙄

  20. Agh!! por mucho que intento no me puedo imaginar una botella de klein en 4D…. alguien me explica 😳

  21. Hola, soy joaquin, pues les platico q me pidieron hacer una botella de klein a gran escala para una fuente, y q el agua entrara al interior, mis dudas son se podra hacer ? se podra hacer en crital o habra algun otro material transparente?, alguien me podra sugerir q hacer,

    saludos desde mexico !!

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