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La magia de Trithemius

Johannes TrithemiusJohannes Trithemius, abad alemán del siglo XV y erudito maestro en mil artes y saberes distintos, escribió el que es quizás uno de los libros más interesantes de la historia: la Steganographia, ya que en un tiempo en el cual todos los que escribían sobre magia pretendían escribir sobre otros temas para evitar ser perseguidos o prohibidos, Trithemius pretendió escribir sobre ocultismo para enmascarar el verdadero contenido de su obra: técnicas de cifrado tan avanzadas que incluso recién en 1998, Jim Reeds, un investigador del AT&T Labs, logró descubrir que el tercer volumen de la obra en cuestión, el cual se creía trataba en efecto solamente sobre magia y ocultismo, era en realidad una compleja serie de materiales esteganografícos que contenían aun más información sobre técnicas avanzadas de cifrado y ofuscamiento de datos -de hecho ésta disciplina de cifrado toma el nombre a partir de la obra de Trithemius.

Lo anterior no es para menos, ya que su método de cifrado polialfabético y dinámico -es decir que cada paso del proceso altera aun más la complejidad del cifrado resultante- y denominado en latín como Tabula recta, era extremadamente difícil de resolver mediante los, en ese entonces, más avanzados métodos de descarte por prueba y error, por lo que dejaba obsoletas a las ya conocidas y muy utilizadas técnicas de Cifrado de Alberti, para la cual se empleaba un disco móvil de cifrado que ayudaba a codificar un mensaje alterando el orden de los caracteres del alfabeto, y la técnica de Cifrado César, esta última denominada así ya que había sido utilizada mil quinientos años atrás por el mismo Julio César para cifrar sus mensajes y órdenes, y la cual consistía en simplemente cambiar el orden numérico de las letras del alfabeto y reescribir el mensaje de esta manera.

Si bien su obra fue concretada alrededor del año 1499, la misma no sería publicada hasta más de cien años después, en el 1609, y aun así la misma, junto a una obra posterior sobre el mismo tema, la Polygraphiae, fue incluida en el índice de libros prohibidos, el Index Librorum Prohibitorum y retirada recién a principios del siglo XX. No obstante esto no le impidió a Trithemius difundir sus conocimientos, ya que en su Cofradía Céltica, grupo de estudio y debate con otros eruditos en el cual cubrían amplia variedad de temas que iban desde la teología hasta las lenguas y las matemáticas, Trithemius apadrinó intelectualmente a decenas de estudiantes. Además de los anteriormente mencionados el abad escribiría varios libros sobre lexicografía e historia.

El Enigma de Fermat

Traducción de David Galadí del prologo de un libro de Simon Singh:

John Lynch

Por fin nos encontramos en una habitación que, aunque no estaba abarrotada, era lo bastante amplia para contener todo el Departamento de Matemáticas de Princeton con ocasión de las grandes celebraciones. Aquella tarde en particular no había demasiada gente allí, pero sí la suficiente como para que dudara de quién era Andrew Wiles. Tras unos instantes, observé a un hombre de aspecto tímido que escuchaba las conversaciones a su alrededor bebiendo té mientras asistía a la reunión ritual de cerebros que los matemáticos de todo el mundo efectúan cada tarde alrededor de las cuatro. Él, simplemente , supuso quién era yo.

Fue el final de una semana extraordinaria. Me había reunido con algunos de los mejores matemáticos del momento y había empezado a obtener una visión de su mundo desde dentro. Aquél fue nuestro primer encuentro a pesar de todos mis intentos anteriores de concertar una cita con Andrew Wiles para hablar con él y convencerlo de que tomara parte en un documental sobre sus logros para la serie Horizon de la bbc. Aquél era el hombre que recientemente había anunciado haber hallado el Santo Grial de las matemáticas, el hombre que aseguraba haber demostrado el último teorema de Fermat. Mientras hablábamos, Wiles tenía un aire distraído y retraído, y, aunque era educado y amistoso, era evidente que me quería lo más lejos posible de él. Explicó con sencillez que no le sería posible concentrarse en nada excepto en su trabajo, que estaba en una etapa crítica, pero que tal vez en el futuro, cuando la presión actual hubiera desaparecido, estaría encantado de tomar parte en el programa. Sabía, y él sabía que yo lo sabía, que se estaba enfrentando al derrumbamiento de la ambición de su vida, y que el Santo Grial se había revelado ahora nada más que como una copa bastante bonita y valiosa, pero corriente. Había encontrado un punto débil en su anunciada demostración. Continue reading El Enigma de Fermat

Como 2 + 2 terminó siendo igual a 5

El concepto matemático de “prueba inválida”, planteos lógicos falaces en los cuales un error de diseño es intencionalmente ubicado como pieza fundamental del desarrollo, por ende haciéndolo imperceptible a simple vista, es conocido desde tiempos inmemorables. Estas falacias lógicas fueron desarrolladas por vez primera hace miles de años en Grecia, sin embargo, fue en el siglo 16 y 17 en el que tomaron popularidad ya que eran utilizadas para demostrar que “ni siquiera la más exacta de las ciencias está libre de la corrupción y de la mentira humana”. Desde Pitágoras hasta Newton y pasando por Descartes y Fibonacci, todos, en algún momento de sus vidas, pusieron empeño en desarrollar pruebas inválidas.

La más simple de estas contradicciones lógicas, y la que generalmente se utiliza como punto de partida para explicar el concepto, es demostrar que 2 es igual a 1.

a = b
a² = ab
a² – b² = ab – b²
(a – b)(a + b) = b(a – b)
a + b = b
b + b = b
2b = b
2 = 1

No obstante, hubo una prueba inválida tan curiosa que durante más de dos mil quinientos años algunos de los mejores matemáticos de la historia intentaron demostrar: 2 + 2 = 5. Su origen bordea con la leyenda y remarca que fue en la escuela de los Pitagóricos donde primeramente se demostró la tan famosa e infame ecuación. Sin embargo, éstos, al igual que hicieron con la raíz cuadrada de 2, temiendo a desafiar la lógica de la matemática decidieron “taparla” del conocimiento público -otros dicen que simplemente no tenían el dinero para pagarle al escriba-. Sea como sea la ecuación permanecería “dormida” durante poco menos de dos mil años y sería redescubierta por el legendario Fibonacci en el siglo 13. Quien tras reflexionar y estudiar en profundidad los principios Euclidianos dijo: “Es más probable que 2 + 2 esté más cerca de 5 que de 4”.

Durante años Fibonacci intentó demostrarlo de todas las maneras posibles, incluso gracias a esto realizó una de las primeras experiencias científicas rigurosas al estudiar la reproducción en poblaciones de conejos. Tan testarudo fue que prontamente le pusieron el apodo de “Cabeza de ladrillo”.

Pierre de FermatUnos 4 siglos más tarde Descartes retomaría el concepto, y más importante aun el mismísimo Fermat daría el primer paso en desarrollar una “demostración inválida” de que 2 + 2 es igual a 5. Desgraciadamente su editor, temeroso de que el libro fuese un fracaso al ser considerado “no serio” decidió descartar el teorema. Pasarían más años y un renovado interés en los siglos 17 y 18 llevaría a que Riemann desarrollara la primer operación aritmética que resultara en 5 al sumar 2 y 2, trayendo con esto un caótico y candente debate en el mundo matemático. Para colmo de males Gauss salió con una demostración que establecía que 2 + 2 = 3. La confusión fue tal que las instituciones académicas dudaban sobre si seguir la tradición Euclidiana de 2 + 2 = 4 o comenzar a escuchar a los que decían que la suma de 2 y 2 tenía otros valores al punto que, por ejemplo, Kempe demoró 11 años más en dar a la luz su teorema de los 4 colores por temor a estar errado a causa de las dudas que había en el momento sobre la suma de 2 por si mismo. Decidido a terminar con la confusión el mismísimo Gottlob Frege desarrolló un teorema demostrando que 2 + 2 era igual a 5, sin embargo el legendario Bertrand Russell prontamente le envió una carta recordándole que hacía unos años, fue él mismo, Frege, quien había demostrado que 2 + 2 era igual a 5. Imposible de resolver la cuestión Frege perdió la fe en la matemática y la abandonó por completo dedicándose a trabajos de oficina.
El problema en el mundo académico se solucionaría no de manera lógica, sino estableciendo por de facto que 2 + 2 era igual a 4.

Hoy en día gracias a la asistencia de las computadoras cientos de demostraciones, algunas complejísimas, han surgido demostrando todo tipo de resultados “incoherentes” que años atrás hubieran sido imposibles de imaginar.

Enlaces relacionados
– Wikipedia tiene una interesante recopilación de pruebas invalidas.

Curiosidades del número Pi

En distintas culturas, china, egipcia, europea, india, etc., se trato de obtener mejores aproximaciones de Pi por ser de aplicación en campos tan distintos como la astronomía o la construcción.

Muchos de los intentos de evaluar Pi en la antigüedad utilizaban el método de calcular el perímetro de polígonos inscritos y circunscritos a circunferencias.

Modernamente para evaluar Pi se utiliza una serie infinita convergente. Este método fue utilizado por primera vez en Kerala (India) en el Siglo XV

La probabilidad de que dos enteros positivos escogidos al azar sean primos entre si es 6/Pi2

Si se eligen al azar dos números positivos menores que 1, la probabilidad de que junto con el número 1 puedan ser los lados de un triángulo obtusángulo es (Pi-2)/4 Continue reading Curiosidades del número Pi

El enigma de Fermat

Hace mucho que quería agregar este texto, que si les interesa la ciencia y su divulgación seguramente les encantará. Es una traducción de David Galadí del prologo de un libro de Simon Singh. Cortesía de Ciencia y Cultura

John Lynch

Por fin nos encontramos en una habitación que, aunque no estaba abarrotada, era lo bastante amplia para contener todo el Departamento de Matemáticas de Princeton con ocasión de las grandes celebraciones. Aquella tarde en particular no había demasiada gente allí, pero sí la suficiente como para que dudara de quién era Andrew Wiles. Tras unos instantes, observé a un hombre de aspecto tímido que escuchaba las conversaciones a su alrededor bebiendo té mientras asistía a la reunión ritual de cerebros que los matemáticos de todo el mundo efectúan cada tarde alrededor de las cuatro. Él, simplemente , supuso quién era yo.
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La marca de tiza de los $10 mil dólares

Nacido en Breslau, 1865. Fue matemático, inventor e ingeniero, de origen alemán, cuyo nombre original era Karl August Rudolf Steinmetz. De baja estatura, tenía una deformidad física congénita (era jorobado). Estudió en la Universidad de Breslau, pero tuvo que huir de Alemania debido a sus ideas socialistas, y en 1888 se trasladó a Zurich, pasando a los Estados Unidos en 1889. Trabajó en la empresa de electricidad de Rudolf Eickemeyer, que en 1893 fue comprada por la General Electric. En 1892 descubrió la histéresis magnética, el fenómeno en virtud del cual los electroimanes cuyo núcleo es un material ferromagnético (como el hierro) no se magnetizan al mismo ritmo que la corriente variable que pasa por sus espiras, sino que existe un retardo. Cuando el campo magnetizante es nulo, el núcleo mantiene una densidad de flujo magnético remanente. Este fenómeno da lugar a pérdidas de energía, que se disipa en forma de calor. En 1893 desarrolló una teoría matemática aplicable al cálculo de circuitos en corriente alterna, lo que facilitó el cambio de las líneas de energía eléctrica, que inicialmente eran de corriente continua. Posteriormente investigó las corrientes transitorias que surgen en los circuitos cuando se conecta o se desconecta la fuente de alimentación, que sólo duran hasta que se establece el régimen permanente, pero que pueden causar daños importantes.

La siguiente anécdota fue publicada en la sección de cartas en la revista Life (1965):

Señores, en su articulo sobre Steinmetz (23 de abril) mencionaban una entrevista con Henry Ford. Mi padre, Burt Scott, empleado de Henry Ford desde hacia años, me relato ese encuentro. Se había planteado dificultades tecnicas en un generador de nuevo diseño en la planta Ford de River Rouge y sus ingenieros no eran capaces de resolverla, de manera que Ford solicitó la ayuda de Steinmetz. Cuando el ¨pequeño gigante¨ llego a la planta, rechazo toda asistencia, pidiendo solamente un cuaderno, un lápiz y un camastro. Durante dos días y dos noches vigilo el generador e hizo gran cantidad de cálculos. Entonces pidió una escalera , una cinta de medir y un trozo de tiza. Trepo laboriosamente por la escalera , realizo mediciones cuidadosas e hizo una marca con la tiza en un lateral del generador. Descendió y ordeno a su escéptica audiencia que quitaran una placa del generador y eliminasen 16 espiras de la bobina a esa altura. Se hicieron las correcciones y generador funcionó perfectamente. Mas tarde, Ford recibió una factura de la GE por un monto de U$S10.000 firmada por Steinmetz.

Ford la devolvió agradeciendo el buen trabajo realizado y pidiéndole respetuosamente una factura detallada . Steinmetz replico como sigue:

* Hacer una marca con la tiza U$S 1,00
* Saber donde hacerla U$S 9.999
* Total a pagar U$S 10.000.

El texto matemático más antiguo que se conoce

El texto de matemáticas más antiguo que se conoce posee la asombrosa edad de 3.600 años y fue escrito por un viejo escriba egipcio de nombre Ahmes. No obstante, Ahmes, no fue el autor original de este texto. Como escriba su trabajo era copiar papiros de todo tipo, uno de estos papiros fue un texto, hoy perdido, que databa de la Dinastía XII. Ya que sus predecesores fueron destruidos, o al menos no han sido encontrados, este es considerado como el texto matemático más viejo en existencia del que se tenga constancia. (Incluso que el Paprio De Rollin 1350 aC)

La historia de este papiro es más que singular, ya que sobrevivió hasta el tiempo presente sin ser protegido por museos o bibliotecas, y no fue sólo sino hasta que un estudioso apellidado Rhind que se encontraba comprando papiros antiguos para su colección -las malas lenguas dicen que a sabiendas robados-, lo encontró y descubrió su significancia que pasa a ser considerado un “tesoro de la historia”. Ciertamente casi todo lo que sabemos de las matemáticas egipcias está contenido en este papiro: un sistema numeral egipcio, el uso de fracciones para dividir raciones de pan y cerveza entre los trabajadores, cálculos geométricos, medición, etc. El hecho que muchos de los cálculos estén orientados a problemas de la vida cotidiana nos indica que principalmente era utilizado como manual para resolver disputas diarias. Sin embargo, su contenido retórico y un tanto “académico” lo pone en la categoría de ser uno de los primeros “libros de texto” de la historia. Ahmes, o más exactamente Ahmose -Hijo de la Luna-, fue un nombre excesivamente popular durante la Dinastía XVIII. Actualmente se encuentra en el Museo Británico y está en duda si el texto es original o una copia de un manuscrito mucho más antiguo.

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La biblioteca que salvó sus contenidos gracias a ser quemada.

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Este sitio toma los contenidos matemáticos del manuscrito y los explica emparentándolos con la notación matemática moderna (En Inglés).

El curioso origen de la incógnita X

Algo que me interesa muchísimo es el origen de las palabras, así que hoy voy a comentarles sobre uno de los más interesantes de todos. Quien haya estudiado matemática, incluso en su nivel más básico, habrá notado que cuando tenemos una incógnita ésta se denomina con una X. Lo crean o no, la X, no fue elegida al azar, aquí tienen el por qué:

La X nace de la palabra árabe para representar una cantidad numérica no conocida, esta palabra era shei. Los escritores griegos que traducían textos matemáticos egipcios, por una cuestión de simplicidad, la tradujeron como xei, mucho más fácil de leer en el alfabeto helénico. Con el tiempo los cálculos fueron ganando complejidad y xei se fue acortando hasta convertirse en una X. Es así que hoy en día, en matemáticas y muchos otros lados, utilizamos la X para representar una incógnita.

Papiro de Oxirrinco

La imagen que pueden apreciar es un papiro Griego de aproximadamente unos 3000 años de antigüedad. Que si bien no es un texto matemático se puede observar la utilización del Xei. (nota: la datación del papiro es debatida, otras fuentes identifican un origen más cercano datado en 2000 años de antigüedad)

Explicaciones y teoría alternativas
– La primera, es que también es posible que la X nazca de la palabra griega Xenos -extraño, foráneo-.

– La segunda la ubica en la época del matemático Omar Khayyam (siglo 11). Sin embargo, eso nos dejaría con la duda sobre el por qué hay manuscritos griegos (de la Edad Clásica) donde aparece la palabra Xei. De hecho era muy común utilizar letras mayúsculas para designar magnitudes en Grecia (Aristóteles, por ejemplo, las utilizaba seguido en sus obras).

La historia real de un matemático muy despistado

Norbert Weiner era el típico matemático despistado. En cierta ocasión su familia se mudó a un pueblo muy cercano donde vivían antes. Su esposa, conociéndolo, decidió mandarle al MIT como todos los días, y ella se encargó de la mudanza. Tras repetirle cientos de veces que se mudaban tal día, el día “D” le dio una hoja de papel con la nueva dirección, porque estaba absolutamente segura de que se iba a olvidar.

Desgraciadamente, uso este papel para resolverle por la otra cara una duda a un estudiante. Cuando volvió por la tarde a su casa, por supuesto, se olvidó de que se habían mudado. Su primera reacción al llegar a su antigua casa y verla vacía fue la de pensar que le habían robado, y entonces recordó lo de la mudanza. Como tampoco conseguía recordar a donde se habían mudado y no tenia el papel, salió a la calle bastante preocupado, y vio una chica que se acercaba; entonces le dijo:

– Perdone, pero es que yo vivía aquí antes y no consigo recordar…
– No te preocupes, papá, mama me ha mandado a recogerte.

El primer programa de la historia -1842-

Ada Byron, alias Lady Lovelace. Ada fue, ni más ni menos, que la primer programadora de la historia, allá por el siglo 19.

Ada ByronHija, legítima!, del gran poeta Lord Byron, con todo lo que eso significa. Todos, espero, sabemos lo turbulenta que fue la vida del poeta: hijos desperdigados por todo el mundo, incluso tuvo un supuesto romance con su hermana; problemas emocionales; personalidad singular y un largo etcétera de rarezas. La relación entre Annabella, la madre de Ada, y Byron no fue muy buena, de hecho, se divorciarían al año y unos meses del nacimiento de la niña. Sin embargo, a pesar de lo problemática que fue la relación familiar, Annabella, pondría un gran énfasis en la educación de su hija, sobretodo en la matemática. Siguiendo las tutorías de algunos de los mejores profesores de Londres Ada pronto se convertiría en una intelectual de renombre. En 1835 se une en matrimonio al Baron William King, relación de la que florecerían tres niños, pasando a tomar el título de: La Recta y Honorable Augusta Ada, Condesa de Lovelace.

El programa
Charles BabbageAmiga de personajes tan importantes como Faraday, Dickens y Wheatstone, su gusto por la matemática se pondría a prueba en 1842, año en el que comenzaría a traducir las memorias del matemático Italiano Luigi Menabrea, quien había realizado un profundo estudio sobre la máquina analítica de Babbage. No obstante, las memorias no serían muy claras, por lo que Ada, se vería obligada a realizar una serie de algoritmos que la ayudaran a obtener un método “automático” para resolver números de Bernoulli. Estas notas, que realizó explicando el procedimiento, son consideradas como el primer programa computacional de la historia. De hecho se ha probado que si se transcribe la lógica a un lenguaje de programación moderno este es perfectamente funcional.

Máquina analítica de Babbage.

Lamentablemente Ada moriría joven, desangrada hasta la muerte por su médico, quien intentaba curarla de un cancer de útero. -si leen mi artículo sobre Medicina Medieval entenderán por qué los “doctores” del pasado creían que drenar sangre del paciente era benéfico-. De todas maneras esto trae una curiosa casualidad: Ada moriría a la misma edad que su padre, 36 años, y de la misma causa “sangrado medicinal”. Bajo pedido personal sería enterrada junto a éste.